Jedan trodimenzionalni oblik mogao bi riješiti dugogodišnji problem geometrije: kako ispuniti čitav prostor jednakim komadima, bez praznina i preklapanja, tako da se njihov raspored nikada ne ponavlja. Oblik nazvan Chair44 nalikuje kocki kojoj nedostaje jedan kut, ali presudne su sitne izbočine i udubljenja na njegovim površinama.
Ioannis Tsiokos konstrukciju je predstavio u preprintu objavljenom 16. rujna. Njegov rad predlaže dokaz da geometrija sama prisiljava svako moguće slaganje tih komada na neperiodičan raspored. Felix Flicker sa Sveučilišta u Bristolu potom je u zasebnom preprintu razradio jednostavnija pravila spajanja i neovisno ponovio konačne računalne provjere na kojima se argument temelji.
Takav se oblik u matematici naziva aperiodičnim monotilom. To znači da je za slaganje dovoljna jedna vrsta komada, a ne skup različitih oblika. Naziv "einstein" koji se također koristi dolazi od njemačkog izraza "ein Stein", odnosno "jedan kamen"; nije posveta Albertu Einsteinu.
Sedam kocki nije dovoljno
Osnovu Chair44 čini sedam jediničnih kocki. Može se zamisliti blok od dvije kocke po širini, visini i dubini, kojem je uklonjena jedna kutna kocka. Dobiveni oblik, s udubljenjem nalik sjedalu, matematičarima je poznat odranije.
Sam taj oblik ne rješava problem. Njegove se kopije mogu složiti i u ponavljajući raspored. Novost su male piramidalne izbočine i odgovarajuća udubljenja na plohama, koja ograničavaju načine na koje se susjedni komadi mogu dodirivati.
Površine se pritom ponašaju poput precizno oblikovanih spojeva. Dva komada mogu se pravilno nasloniti jedan na drugi samo kada se njihovi detalji podudaraju. U izvornom radu visine i dubine tih detalja vrlo su male u odnosu na brid osnovne kocke, ali su matematički bitne: bez njih bi ostali dopušteni i periodični rasporedi.
Flicker isti sustav proučava pomoću obojenih strelica i kvadrata. Te oznake olakšavaju praćenje pravila na papiru. Za oblik koji prostor ispunjava isključivo svojom geometrijom pravila ipak moraju biti ugrađena u same površine, a ne ostati samo nacrtana u bojama.
Osam komada gradi veći oblik
Ključ dokaza jest hijerarhija. Pravila spajanja prisiljavaju osam malih oblika na sastavljanje većeg oblika iste osnovne građe, s dvostruko većim linearnim dimenzijama. Ti se veći oblici ponovno moraju povezivati u još veće, a postupak se nastavlja bez kraja.
Pritom se na svakoj razini zadržavaju odgovarajuća pravila spajanja. Nije dovoljno pokazati da se jedan lijep neperiodičan raspored može izgraditi. Potrebno je dokazati da geometrija ne dopušta neki drugi raspored koji bi se ponavljao. Upravo taj zahtjev razlikuje aperiodičan oblik od običnog komada kojim se, po želji, može slagati neperiodičan uzorak.
Periodičnost ovdje ima precizno značenje. Kad bi se cijeli beskonačni raspored pomaknuo za određenu udaljenost u nekom smjeru, svaki bi komad ponovno pao na mjesto odgovarajućeg komada. Kod Chair44, prema predloženom dokazu, takav nenulti pomak ne postoji.
Što znači snažna aperiodičnost
Trodimenzionalni oblici koji stvaraju neperiodične rasporede poznati su desetljećima, ali neki dopuštaju posebne beskonačne simetrije. Primjerice, raspored se može podudarati sa samim sobom nakon kombinacije pomicanja i zakretanja, ili se neperiodični slojevi mogu periodično nizati u jednom smjeru.
Chair44 trebao bi zadovoljiti stroži uvjet: raspored ne dopušta ni takvu simetriju beskonačnog reda. Zato ga autori opisuju kao snažno aperiodičan monotil, a ne kao prvi trodimenzionalni oblik bilo koje vrste koji daje neperiodičnost.
Tsiokos je pri traženju konstrukcije i sastavljanju dokaza koristio umjetnu inteligenciju. Matematička provjera pritom se oslanja na geometrijski argument, konačno prebrojavanje mogućih susjedstava i formalni zapis dokaza. Flickerov nastavak istraživanja pokušava izdvojiti najjednostavnija pravila koja još uvijek nameću isti raspored, kako bi se moglo istražiti njihovo ostvarivanje u fizičkim sustavima. Radovi zasad ostaju preprinti; praktična izrada materijala s takvom strukturom zaseban je izazov.
Izvor slike: Ioannis Tsiokos i Felix Flicker, CC BY 4.0. Dijagram je pretvoren u WebP i prilagođen veličini prikaza.
