Malo je brojčanih nizova toliko poznatih kao onaj nazvan po talijanskom matematičaru Leonardu Fibonacciju. I to s dobrim razlogom: iz relativno jednostavnog recepta, ovaj niz brojeva dodiruje gotovo svaki aspekt života – ne samo u matematici, već i u prirodnom svijetu oko nas, prenosi IFLScience. I to zvuči neobično, zar ne? Zašto bi jedan određeni niz brojeva, nastao jednostavnim zbrajanjem, izranjao kroz prirodu? Odgovor je pametniji nego što biste možda pomislili.
Što je Fibonaccijev niz?
Ako vam ime “Fibonacci” nije poznato, sjetite se prve “teške” brojčane sekvence s kojom ste se susreli u školi. Izgleda ovako:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610
Ako vam odmah nije jasno koja pravila upravljaju ovim nizom, objašnjenje je prilično jednostavno: svaki broj u nizu je zbroj prethodna dva. Fibonacci ga je 1202. prikazao kroz problem razmnožavanja zečeva u djelu Liber abaci. No naziv niza sam po sebi ne utvrđuje tko ga je prvi poznavao ni kako su se ideje prenosile. Povijesna analiza Scotta i Marketosa razmatra upravo nesigurnosti i različite pretpostavke o njegovu podrijetlu.
“Izvorni problem koji je Fibonacci istraživao 1202. godine odnosio se na to koliko brzo bi se zečevi mogli razmnožavati u idealnim uvjetima,” objašnjava dr. Ron Knott, matematički komunikator i bivši predavač na Sveučilištu Surrey u Ujedinjenom Kraljevstvu. “Zamislite da stavite novorođeni par zečeva, jednog mužjaka i jednu ženku, na polje,” pojašnjava Knott. “Fibonacci je postavio zagonetku: koliko će parova zečeva biti nakon jedne godine?”
Da bi ovaj problem funkcionirao, potrebno je napraviti nekoliko ključnih pretpostavki. Kao prvo, zanemarimo mogućnost da zečevi umru – u ovom scenariju, oni žive cijelo vrijeme. Par se u modelu može pariti nakon mjesec dana, a prvi novi par dobiva na kraju drugog mjeseca. Svaki odrasli par zatim svakog mjeseca dobiva još jedan par. Uz to, zaboravite sve što znate o genetskoj raznolikosti i srodničkom parenju.
Knott dalje pojašnjava: “Na kraju prvog mjeseca, par se pari, ali još uvijek postoji samo jedan par. Na kraju drugog mjeseca, ženka donosi novi par, pa sada imamo dva para zečeva u polju,” nastavlja. “Na kraju trećeg mjeseca, izvorna ženka donosi drugi par, čime sada u polju imamo tri para. Na kraju četvrtog mjeseca, izvorna ženka donosi još jedan par, dok ženka rođena prije dva mjeseca donosi svoj prvi par, čime sada imamo pet parova zečeva.”
Važno je brojiti parove, a ne pojedinačne zečeve, i jasno označiti početak. Ako početni trenutak označimo kao mjesec 0, niz od mjeseca 0 do kraja mjeseca 12 glasi:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
Na kraju dvanaestog mjeseca tako dobivamo 233 para, odnosno 466 zečeva. Broj 144 odnosi se na parove na kraju jedanaestog mjeseca. To je idealizirani matematički model, ne prognoza stvarnog uzgoja; pretpostavke i početne mjesece prikazuje izvorni Knottov prikaz.
Mjera iracionalnosti
Fibonaccijevi brojevi pojavljuju se u broju latica i rasporedu listova ili sjemenki nekih biljaka. To nije pravilo za svaku biljku ni za svaki spiralni oblik. Kako upozorava Knottov pregled primjera iz prirode, ni rast logaritamske spirale na kućici ne mora slijediti zlatni omjer.
Pitanje je: zašto? Zašto bi ovaj određeni niz brojeva – ne najjednostavniji koji možete zamisliti, ali ni previše kompliciran – bio toliko važan za prirodni svijet? Kako piše IFLScience, dio odgovora leži u području matematike zvanom Diophantinska aproksimacija. Ona proučava koliko se dobro realni brojevi mogu približiti razlomcima, uz zadana ograničenja nazivnika.
Zlatni omjer φ, koji se čita „fi”, posebno je zanimljiv pri približavanju razlomcima. Izraz „najiracionalniji” odnosi se na posebno svojstvo takvih aproksimacija, a ne na opću ljestvicu svih iracionalnih brojeva. Njegova je približna vrijednost:
φ = 1,6180339887…
Omjeri uzastopnih Fibonaccijevih brojeva, poput 8/5 i 13/8, približavaju se zlatnom omjeru. Nisu jedini razlomci kojima ga možemo približiti: primjerice, i 1618/1000 daje približnu vrijednost. Posebnu ulogu Fibonaccijevih omjera objašnjava zapis zlatnog omjera kao verižnog razlomka, opisan u MathWorldovu matematičkom pregledu.
Priroda matematike
Matematički opis uzorka treba razlikovati od biološkog procesa koji ga stvara. “Fibonacci obrasci i omjeri pronađeni u mnogim biološkim organizmima, uključujući biljke, zaista su povezani s Fibonaccijevim nizom,” potvrđuje astrofizičar Ethan Siegel. Istraživanje Reinhardta i suradnika iz 2003. pokazalo je da prijenos biljnog hormona auksina regulira raspored novih biljnih organa. Postojeći začeci listova mijenjaju raspodjelu auksina u rastućem vrhu, pa se novi začeci pojavljuju na određenoj udaljenosti od njih. To je biološki mehanizam, a ne odluka biljke da izračuna kut radi najviše Sunčeve svjetlosti.
U nekim biljkama broj vidljivih spirala povezan je s Fibonaccijevim brojevima. No broj spirala, kut između novih listova i matematički oblik same krivulje nisu ista stvar. Raspored treba izmjeriti prije nego što ga proglasimo primjerom zlatnog omjera.
“Mnogi spiralni oblici koji nastaju iz čisto fizičkih, ne-bioloških procesa u prirodi – od vrtloga u vodi do oblika oblaka tijekom uragana – nisu Fibonaccijeve spirale u smislu matematičkih detalja,” naglašava Siegel. “Možda ćete naići na trenutak kada neki od tih oblika nalikuju Fibonaccijevim omjerima, ali ti oblici nisu trajni.”
Fibonaccijev niz nije samo matematička zanimljivost. Duboko je ukorijenjen u prirodi i pomaže objasniti mnoge složene obrasce koje vidimo u svijetu oko nas.
