Zašto se Fibonaccijev niz pojavljuje tako često u prirodi?

Malo je brojčanih nizova toliko poznatih kao onaj nazvan po talijanskom matematičaru Leonardu Fibonacciju. I to s dobrim razlogom: iz relativno jednostavnog recepta, ovaj niz brojeva dodiruje gotovo svaki aspekt života – ne samo u matematici, već i u prirodnom svijetu oko nas, prenosi IFLScience. I to zvuči neobično, zar ne? Zašto bi jedan određeni niz brojeva, vođen pravilnim binarnim operacijama, izranjao kroz prirodu? Odgovor je pametniji nego što biste možda pomislili.

Što je Fibonaccijev niz?

Ako vam ime “Fibonacci” nije poznato, sjetite se prve “teške” brojčane sekvence s kojom ste se susreli u školi. Izgleda ovako:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610

Ako vam odmah nije jasno koja pravila upravljaju ovim nizom, objašnjenje je prilično jednostavno: svaki broj u nizu je zbroj prethodna dva. Upravo su na taj način srednjovjekovni indijski učenjaci prvi put otkrili ovaj niz, dok su tražili savršene ritmove za poeziju. No, na Zapadu je trebalo nekoliko stoljeća da se Fibonaccijev niz ponovno otkrije – i kada se to dogodilo, nije bilo kroz jednostavno zbrajanje. Zapravo, niz je tada bio povezan s problemom razmnožavanja, a ne matematičkim operacijama, objašnjava IFLScience.

“Izvorni problem koji je Fibonacci istraživao 1202. godine odnosio se na to koliko brzo bi se zečevi mogli razmnožavati u idealnim uvjetima,” objašnjava dr. Ron Knott, matematički komunikator i bivši predavač na Sveučilištu Surrey u Ujedinjenom Kraljevstvu. “Zamislite da stavite novorođeni par zečeva, jednog mužjaka i jednu ženku, na polje,” pojašnjava Knott. “Fibonacci je postavio zagonetku: koliko će parova zečeva biti nakon jedne godine?”

Da bi ovaj problem funkcionirao, potrebno je napraviti nekoliko ključnih pretpostavki. Kao prvo, zanemarimo mogućnost da zečevi umru – u ovom scenariju, oni žive cijelo vrijeme. Također pretpostavljamo da su zečevi sposobni imati potomstvo već nakon mjesec dana i da će svaki par sigurno dobiti mlade. Uz to, zaboravite sve što znate o genetskoj raznolikosti i inbreedingu.

Knott dalje pojašnjava: “Na kraju prvog mjeseca, par se pari, ali još uvijek postoji samo jedan par. Na kraju drugog mjeseca, ženka donosi novi par, pa sada imamo dva para zečeva u polju,” nastavlja. “Na kraju trećeg mjeseca, izvorna ženka donosi drugi par, čime sada u polju imamo tri para. Na kraju četvrtog mjeseca, izvorna ženka donosi još jedan par, dok ženka rođena prije dva mjeseca donosi svoj prvi par, čime sada imamo pet parova zečeva.”

Ovaj proces se nastavlja sve do dvanaestog mjeseca, kada ćemo imati ukupno 144 zeca koji veselo skaču po polju – ili, da budemo precizniji, 72 skaču, dok je ostalih 72 trudnih i vjerojatno prilično iscrpljenih. Niz mjesečnih zbrojeva izgleda ovako:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Mjera iracionalnosti

Od samog početka, Fibonaccijev niz bio je usko povezan s prirodnim svijetom. No, pojavljuje se na mnogo više mjesta od same populacije zečeva: možete ga vidjeti u broju latica na cvijeću, rasporedu listova na granama drveća, spiralama cvjetače, od najmanje puževe kućice do veličanstvenih spiralnih galaksija.

Pitanje je: zašto? Zašto bi ovaj određeni niz brojeva – ne najjednostavniji koji možete zamisliti, ali ni previše kompliciran – bio toliko važan za prirodni svijet? Kako piše IFLScience, dio odgovora leži u području matematike zvanom Diophantinska aproksimacija. U najjednostavnijem obliku, ona proučava koliko iracionalni brojevi mogu biti, a neki zaključci mogu vas iznenaditi.

Razmotrite, na primjer, “najiracionalniji broj”. Ako vas netko pita koji broj je najiracionalniji, možda ćete pomisliti na pi – broj koji je transcendentan i predmet bezbrojnih istraživanja matematičara i znanstvenika. Međutim, najiracionalniji broj zapravo je φ – izgovara se “fi” i zapisan je ovako:

φ = 1,6180339887…

Ovaj broj možda na prvi pogled ne izgleda posebno, ali ono što ga izdvaja jest koliko ga je teško aproksimirati racionalnim brojevima. Dok je, primjerice, pi moguće približno izračunati s omjerima poput 22/7, omjeri za φ su uvijek omjeri uzastopnih Fibonaccijevih brojeva.

Priroda matematike

Možda mislite da priroda nije svjesna napredne teorije brojeva, i da su svi ovi uzorci puka slučajnost. Ali to nije slučaj. “Fibonacci obrasci i omjeri pronađeni u mnogim biološkim organizmima, uključujući biljke, zaista su povezani s Fibonaccijevim nizom,” potvrđuje astrofizičar Ethan Siegel. Na primjer, biljka dobiva energiju od Sunca, pa joj je cilj maksimizirati izloženost svojih listova sunčevoj svjetlosti. Najbolji način da to učini jest da novi listovi rastu pod određenim kutom u odnosu na prethodni – kut koji proizlazi iz Fibonaccijevih brojeva.

Ako biljka nastavi ovako raspoređivati listove, oni će formirati spiralni uzorak poznat kao Fibonaccijeva spirala. Ovaj matematički princip, prisutan u ananasima, borovim češerima i mnogim drugim biološkim strukturama, objašnjava zašto su Fibonaccijevi brojevi toliko rašireni u prirodi. Međutim, postoji i upozorenje: ponekad je stvarno riječ samo o slučajnosti.

“Mnogi spiralni oblici koji nastaju iz čisto fizičkih, ne-bioloških procesa u prirodi – od vrtloga u vodi do oblika oblaka tijekom uragana – nisu Fibonaccijeve spirale u smislu matematičkih detalja,” naglašava Siegel. “Možda ćete naići na trenutak kada neki od tih oblika nalikuju Fibonaccijevim omjerima, ali ti oblici nisu trajni.”

Fibonaccijev niz nije samo matematička zanimljivost. Duboko je ukorijenjen u prirodi i pomaže objasniti mnoge složene obrasce koje vidimo u svijetu oko nas.