Dva matematičara možda su riješila zagonetku poznatu kao Kakeya skup

U jednom posebnom geometrijskom pitanju, poznatom kao Kakeya skup, matematičari pokušavaju otkriti kolika može biti najmanja površina unutar koje se pravac — ili igla — može potpuno rotirati za 360 stupnjeva. Zvuči jednostavno, gotovo kao rotacija strelice na ploči društvene igre, no iza toga se krije jedan od najsloženijih izazova moderne matematike. Sada, dvojica znanstvenika vjeruju da su napravili ključni korak prema odgovoru koji matematičari traže više od sto godina.

Kako je problem rotirajuće igle doveo do nove grane matematike

Kakeya skup nije samo teorijska igra — riječ je o problemu koji je postavio japanski matematičar Sōichi Kakeya početkom 20. stoljeća, a dodatno ga je zakomplicirao Abram Besicovitch kad je pokazao da se u višedimenzionalnim prostorima takav skup može “sabiti” do površine nulte mjere. Drugim riječima, rotacija je i dalje moguća, ali bez da skup zapravo zauzima mjerljivu površinu u prostoru.

Ova ideja dovela je do razvoja potpuno nove grane matematike: geometrijske teorije mjere. U toj disciplini proučavaju se objekti kroz karakteristike poput promjera i površine, ali u apstraktnim, često višedimenzionalnim prostorima, gdje klasične definicije gube jasnoću. Ilustrativni primjer tog razmišljanja je poznata Kleinova boca — četverodimenzionalni oblik koji se pokušava prikazati u tri dimenzije kako bi ga ljudski mozak mogao pojmiti.

Matematičari koji proučavaju Kakeya skup traže ekstremne primjere: oblike poput deltoida, zakrivljenih trokutastih figura koje mogu omogućiti punu rotaciju igle, a zauzimaju daleko manju površinu od kruga. Ključno pitanje ostaje — koji je najmanji mogući takav oblik?

Dvojica matematičara primijenila su novu metodu i otvorila vrata rješenju

Matematičari Hong Wang sa Sveučilišta u New Yorku i Joshua Zahl sa Sveučilišta Britanske Kolumbije donose mogući proboj u ovom stoljetnom pitanju. Njihov pristup oslanja se na tehniku poznatu kao indukcija na skali, koja omogućuje analizu problema kroz različite razine „povećanja“ ili dimenzionalne strukture.

Umjesto da proučavaju tanke pravce, Wang i Zahl uvode koncept cijevi — matematičkih objekata koji se sastoje od točaka raspoređenih oko linije na određenoj udaljenosti. Takve cijevi imaju trodimenzionalnost i mogu se promatrati kao prošireni pravci. Time se stvara uvjet za analizu složenijih presjeka i otkriva način kako prostor može biti “iskorišten” na učinkovitije načine.

Njihov dokaz, koji broji 125 stranica, prema mišljenju mnogih stručnjaka predstavlja značajan napredak. Pablo Shmerkin, kolega s područja matematičke analize, opisuje njihov rad kao spoj najnovijih uvida i izuzetne tehničke vještine. Terence Tao, dobitnik Fieldsove medalje, također je detaljno proučio dokaz i opisao ga kao “spektakularan napredak” te istaknuo mjesta gdje se na temelju njihova rada mogu otvoriti nova istraživanja.

Zahl i Wang još uvijek su unutar dobne granice za osvajanje Fieldsove medalje — najprestižnijeg priznanja u matematici, koje se dodjeljuje znanstvenicima mlađima od 40 godina. Zahl je diplomirao 2008., a Wang je rođena 1991. godine. Sljedeća dodjela održava se 2026., a prema reakcijama iz znanstvene zajednice, oboje bi se mogli naći među favoritima.

Iako rješenje još čeka formalnu recenziju, matematička zajednica već ga pažljivo proučava. Ako se potvrdi, rad Wanga i Zahla mogao bi označiti prekretnicu ne samo u razumijevanju Kakeya skupa, već i u geometriji kao cjelini. Problem koji je desetljećima izgledao nerješiv sada ima svoje prvo konkretno svjetlo na kraju tunela — i to zahvaljujući drukčijem načinu razmišljanja.